绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学本试卷分第I卷(填空题)和第II卷(解答题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.参考公式:样本数据 , , , 的标准差 其中 为样本平均数柱体体积公式 其中 为底面积, 为高一、填空题:本大题共1小题,每小题5分,共70分.1. 的最小正周期为 ,其中 ,则 = ▲ .本小题考查三角函数的周期公式. 102.一个骰子连续投2 次,点数和为4 的概率 ▲ .本小题考查古典概型.基本事件共6×6 个,点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个,故 3. 表示为 ,则 = ▲ .本小题考查复数的除法运算.∵ ,∴ =0, =1,因此 14.A= ,则A Z 的元素的个数 ▲ .本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.由 得 ,∵Δ<0,∴集合A 为 ,因此A Z 的元素不存在.05. , 的夹角为 , , 则 ▲ .本小题考查向量的线性运算. = , 776.在平面直角坐标系 中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E 中的概率 ▲ .本小题考查古典概型.如图:区域D 表示边长为4 的正方形的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部,因此. 7.算法与统计的题目8.直线 是曲线 的一条切线,则实数b= ▲ .本小题考查导数的几何意义、切线的求法. ,令 得 ,故切点(2,ln2),代入直线方程,得,所以b=ln2-1.ln2-19在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点P(0,p)在线段AO 上(异于端点),设a,b,c, p 均为非零实数,直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ,一同学已正确算的OE的方程: ,请你求OF的方程: ( ▲ ) .本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填 .事实上,由截距式可得直线AB: ,直线CP: ,两式相减得 ,显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程,又原点O 也满足此方程,故为所求直线OF 的方程. 10.将全体正整数排成一个三角形数阵:12 34 5 67 8 9 10. . . . . . . 按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3 个数为 ▲ .本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n-1 行共有正整数1+2+…+(n-1)个,即 个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第 +3个,即为 . 11.已知 , ,则 的最小值 ▲ .本小题考查二元基本不等式的运用.由 得 ,代入 得 ,当且仅当 =3 时取“=”.312.在平面直角坐标系中,椭圆 1( 0)的焦距为2,以O为圆心, 为半径的圆,过点 作圆的两切线互相垂直,则离心率 = ▲ . ? ?设切线PA、PB 互相垂直,又半径OA 垂直于PA,所以△OAP 是等腰直角三角形,故 ,解得 . 13.若AB=2, AC= BC ,则 的最大值 ▲ . ?本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设BC= ,则AC= ,根据面积公式得 = ,根据余弦定理得 ,代入上式得 = 由三角形三边关系有 解得 ,故当 时取得 最大值 14. 对于 总有 ≥0 成立,则 = ▲ .本小题考查函数单调性的综合运用.若x=0,则不论 取何值, ≥0显然成立;当x>0 即 时, ≥0可化为, 设 ,则 , 所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,因此 ,从而 ≥4;当x<0 即 时, ≥0可化为 , 在区间 上单调递增,因此 ,从而 ≤4,综上 =44二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.如图,在平面直角坐标系 中,以 轴为始边做两个锐角 , ,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 的横坐标分别为 .(Ⅰ)求tan( )的值;(Ⅱ)求 的值.本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.由条件的 ,因为 , 为锐角,所以 = 因此 (Ⅰ)tan( )= (Ⅱ) ,所以 ∵ 为锐角,∴ ,∴ = 16.在四面体ABCD 中,CB= CD, AD⊥BD,且E ,F分别是AB,BD 的中点,求证:(Ⅰ)直线EF ‖面ACD ;(Ⅱ)面EFC⊥面BCD .本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定.(Ⅰ)∵ E,F 分别是AB,BD 的中点,∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF‖AD,∵EF 面ACD ,AD 面ACD ,∴直线EF‖面ACD .(Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF‖AD,∴ EF⊥BD.∵CB=CD, F 是BD的中点,∴CF⊥BD.又EF CF=F,∴BD⊥面EFC.∵BD 面BCD,∴面EFC⊥面BCD .17.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处,已知AB=20km,CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP ,设排污管道的总长为 km.(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:①设∠BAO= (rad),将 表示成 的函数关系式;②设OP (km) ,将 表示成x 的函数关系式.(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.本小题主要考查函数最值的应用.(Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO= (rad) ,则 , 故 ,又OP= 10-10ta ,所以 , 所求函数关系式为 ②若OP= (km) ,则OQ=10- ,所以OA =OB= 所求函数关系式为 (Ⅱ)选择函数模型①, 令 0 得sin ,因为 ,所以 = ,当 时, , 是 的减函数;当 时, , 是 的增函数,所以当 = 时, 。这时点P 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB 边 km处。18.设平面直角坐标系 中,设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:(Ⅰ)求实数b 的取值范围;(Ⅱ)求圆C 的方程;(Ⅲ)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.(Ⅰ)令 =0,得抛物线与 轴交点是(0,b);令 ,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 令 =0 得 这与 =0 是同一个方程,故D=2,F= .令 =0 得 =0,此方程有一个根为b,代入得出E=�Db�D1.所以圆C 的方程为 .(Ⅲ)圆C 必过定点(0,1)和(-2,1).证明如下:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0,所以圆C 必过定点(0,1).同理可证圆C 必过定点(-2,1).19.(Ⅰ)设 是各项均不为零的等差数列( ),且公差 ,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:①当n =4时,求 的数值;②求 的所有可能值;(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用.(Ⅰ)①当n=4 时, 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0.若删去 ,则有 即 化简得 =0,因为 ≠0,所以 =4 ;若删去 ,则有 ,即 ,故得 =1.综上 =1或-4.②当n=5 时, 中同样不可能删去首项或末项.若删去 ,则有 = ,即 .故得 =6 ;若删去 ,则 = ,即 .化简得3 =0,因为d≠0,所以也不能删去 ;若删去 ,则有 = ,即 .故得 = 2 .当n≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列 , , ,…, , , 中,由于不能删去首项或末项,若删去 ,则必有 = ,这与d≠0 矛盾;同样若删去 也有 = ,这与d≠0 矛盾;若删去 ,…, 中任意一个,则必有 = ,这与d≠0 矛盾.综上所述,n∈.(Ⅱ)略20.若 , , 为常数,且 (Ⅰ)求 对所有实数成立的充要条件(用 表示);(Ⅱ)设 为两实数, 且 ,若 求证: 在区间 上的单调增区间的长度和为 (闭区间 的长度定义为 ).本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用.(Ⅰ) 恒成立 (*)因为 所以,故只需 (*)恒成立综上所述, 对所有实数成立的充要条件是: (Ⅱ)1°如果 ,则的图象关于直线 对称.因为 ,所以区间 关于直线 对称.因为减区间为 ,增区间为 ,所以单调增区间的长度和为 2°如果 .(1)当 时. , 当 , 因为 ,所以 ,故 = 当 , 因为 ,所以 故 = 因为 ,所以 ,所以 即 当 时,令 ,则 ,所以 ,当 时, ,所以 = 时, ,所以 = 在区间 上的单调增区间的长度和 = (2)当 时. , 当 , 因为 ,所以 ,故 = 当 , 因为 ,所以 故 = 因为 ,所以 ,所以 当 时,令 ,则 ,所以 ,当 时, ,所以 = 时, ,所以 = 在区间 上的单调增区间的长度和 = 综上得 在区间 上的单调增区间的长度和为
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